martes, 17 de abril de 2012

ELIPSES Y CIRCULOS

FUNCIONES OpenGL PARA CURVAS

Las rutinas para generar curvas básicas, como círculos y elipses, no están incluidas como funciones primitivas en la biblioteca OpenGL básica. Pero esta biblioteca sí que contiene funciones para dibujar spunes de Bézier, que son polinomios que se definen mediante un conjunto de puntos discreto. Y la utilidad OpenGL (GLU, OpenGL Ulility) tiene rutinas para cuádricas tridimensionales, como esferas y cilindros, además de rutinas para generar B-splines racionales, que son una clase genérica de Splines en la que están incluidas las curvas de Bézier, más simples.

Otro método que podemos utilizar para generar la gráfica de una curva simple consiste en aproximarla ulizando una polilinea. Basta con localizar un conjunto de puntos a lo largo del trayecto de la curva y conectar dichos puntos mediante segmentos de linea recta. Cuantas más secciones lineales incluyamos en la polilinea. más suave será la apariencia de la curva.

ALGORITMOS PARA LA GENERACION DE CIRCULOS

Puesto que el círculo es un componente muy frecuentemente utilizado en dibujos y gráficas, muchos paquetes gráficos incluyen un procedimiento para generar círculos completos o arcos circulares. Asimismo, en ocasiones hay disponible una función genérica en las bibliotecas gráficas para mostrar diversos tipos de curvas, incluyendo círculos y elipses.

La forma del circulo es similar en cada uno de los cuadrantes. Por tanto, si determinamos las posiciones de la curva en el primer cuadrante, podemos generar la sección circular del segundo cuadrante del plano i observando que ambas secciones son simétricas con respecto al eje y. Y la secciones circulares de los cuadrantes tercero y cuarto pueden obtenerse a partir de las secciones de los dos primeros cuadrantes considerando la simetría con respecto al eje v.

ALGORITMO DEL PUNTO MEDIO PARA GENERACIÓN DE CÍRCULOS

1.    Introducir el radio r y el centro del círculo (xv,yt) y luego establecer las coordenadas para el primer punto de la circunferencia de un círculo centrado en el origen mediante la fórmula

2.    Calcular el valor inicial del parámetro de decisión

3.    Para cada posición xy comenzando en k = 0, realizar la siguiente comprobación. Si pk < 0, el siguiente punto a lo largo de un círculo centrado en (0,0) será {xk+iJyk) y, P^=Pt+2xktl+\

4.    Determinar los puntos simétricos en los otros siete ociantes.

5.    Mover cada posición de píxel (x, y) calculada hasta la trayectoria circular centrada en (xc,yc) y dibujar los valores de coordenadas: x=x+xc , y = y+yc

6.    Repetir los Pasos 3 a 5 hasta que x > y.


ALGORITMOS DE GENERACIÓN DE ELIPSES

En termines simples, una elipse es un circulo alargado. También podemos escribir una elipse como un circulo modificado cuyo radio varía desde un valor máximo en una dirección hasta un valor mínimo en la dirección perpendicular.

Formas paramétricas

La ecuación paramétrica de una elipse con centro en (H,K) y siendo el semieje mayor y b el menor, es:


con no es el ángulo θ del sistema de coordenadas polares con origen en el centro de la elipse (tampoco es el ángulo del sistema de coordenadas polares con origen en algún foco de la elipse). La relación entre y θ es

La ecuación paramétrica de una elipse con centro en en la que el parámetro sea concordante con el ángulo polar respecto al centro desplazado es:


con . El parámetro es el ángulo de un sistema polar cuyo origen está centrado en .

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